主成分分析 ( Principal Component Analysis ， PCA ) 是一種掌握事物主要矛盾的統計分析方法，它可以從多元事物中解析出主要影響因素，揭示事物的本質，簡化復雜的問題。計算主成分的目的是將高維數據投影到較低維空間。給定 n 個變量的 m 個觀察值，形成一個 n ′ m 的數據矩陣， n 通常比較大。對于一個由多個變量描述的復雜事物，人們難以認識，那么是否可以抓住事物主要方面進行重點分析呢?如果事物的主要方面剛好體現在幾個主要變量上，我們只需要將這幾個變量分離出來，進行詳細分析。但是，在一般情況下，并不能直接找出這樣的關鍵變量。這時我們可以用原有變量的線性組合來表示事物的主要方面， PCA 就是這樣一種分析方法。PCA 的目標是尋找 r ( r

。

在進行基因表達數據分析時，一個重要問題是確定每個實驗數據是否是獨立的，如果每次實驗數據之間不是獨立的，則會影響基因表達數據分析結果的準確性。對于利用基因芯片所檢測到的基因表達數據，如果用 PCA 方法進行分析，可以將各個基因作為變量，也可以將實驗條件作為變量。當將基因作為變量時，通過分析確定一組“主要基因元素”，它們能夠很好地說明基因的特征，解釋實驗現象;當將實驗條件作為變量時，通過分析確定一組“主要實驗因素”，它們能夠很好地刻畫實驗條件的特征，解釋基因的行為。下面著重考慮以實驗條件作為變量的 PCA 分析方法。假設將數據的維數從 R N 降到 R 3 ，具體的 PCA 分析步驟如下：

(1) *步計算矩陣 X 的樣本的協方差矩陣 S :

, i = 1,2,…,N 。本征值按大到小排序：

?，F在數據可以在三維空間中展示為云狀的點集。

對于 PCA ，確定新變量的個數 r 是一個兩難的問題。我們的目標是減小 r ，如果 r 小，則數據的維數低，便于分析，同時也降低了噪聲，但可能丟失一些有用的信息。究竟如何確定 r 呢?這需要進一步分析每個主元素對信息的貢獻。

令

(8-45)

前 r 個主成分的累計貢獻率為：